混乱したのはおそらく、いくつかの問題をごっちゃにしてたからだと思いますよ
・ハンバーグという料理は存在するか問題
・その料理の名前が「ハンバーグ」であるか問題
少なくともこの二つはそれぞれ別で考えるべきだろうと思う。

まずハンバーグが存在するかどうかは、私は存在しないだろうと考えてたんだけど、サヴァさんが指摘された「ソーセージがあるなら余ったひき肉はどうしてん？」って返信を読んで、確かに、あるかも、と思い直しました。
でも、「ハンバーグは無い」としたいのならすれば良い話で、ここでスレ主さんは反論するのではなく「ハンバーグは無いことにしたいんだけど、ソーセージはあるのにハンバーグが無かったらおかしいかな？」と問えば良かったと思う。
その答えは、「無い」としても全然問題ない。
例えば、「余った端材はスープに入れて賄いとして従業員で食ってた。丸めて焼くなんて考えもしなかった」って書けばいいだけだから。

「ハンバーグ」の名称があるかどうか問題は、
当然、異世界には存在しないので「ハンバーグ」の名称があることはおかしい。
けど、「ハンバーグ」を知ってる人間が広めたのであれば名前の由来は関係ないから、「ハンバーグ」で定着しても問題ないでしょう。
別名にする解決策もあるけど、同時に異世界ファンタジーの名称問題には「異世界語を日本語に翻訳してる」って奥の手もあります。
異世界では「ひき肉の団子焼き」って名前なんだけど、小説として日本語で書く際に「ハンバーグ」とルビを振って、以降は「ハンバーグ」で通す。
こうすると「ひき肉の団子焼き」を「ハンバーグ」って書いてるだけなので、名称の問題を言葉・言語の問題にすり替えることができます。
このようにやりようはあるので、そもそも「どう設定したら自然か、違和感ないか、変ではないか」と考えるのではなく、「作者がどうしたいか」という話ではないかと思う。

それで更に、スレ主さんの中には「それらが飯屋で簡単に出てくる問題」ってのもあって、これはそもそも「異世界だから何でもアリ」とかそういう話じゃなくて、物語の問題。
「盾の勇者の成り上がり」はザックリ言うと「世界破滅回避のため主人公が活躍する話」であって、「その世界の食文化の話」ではないので、食文化にまで言及するのは書く側にも読む側にもストレスにしかならない。
大事なことは「主人公の活躍」で、それ以外の事はストレスなくスムーズに進んだほうが物語の構成上テンポが良い。ってだけ。
だから、「食文化」が物語の本筋ならば当然「食」には気を使ってるし、その手の作品は なろう系 でもあるにはある。
「物語のどこにスポットを当ててるか」っていう話で、世界観の整合性やらの話ではないのですよ。

それに、食文化はまさしく「文化」の問題で、技術の発展とか社会制度の近代化とか、そういうの関係なく中世風の世界観であろうと、あるものはありますよ。
ハンバーグって料理は普通に考えれば無いかもしれんけど、例えば「モンスターの肉は臭みが酷くそのままでは食えない。ミンチにして香料を混ぜて一晩置くと臭みが消えて食べやすくなる」とすると「その世界では食べにくいモンスターの肉をひき肉に加工して食べている」って文化が出来るので、挽き肉料理に関しては結構「ある」可能性が高いよね。
現実とは違ってモンスターの脅威がある異世界だからこそ、地球の中世時代より進んだ食文化を持ってても不思議じゃないと思います。
「モンスターの肉はくさみがある」という設定があるならば、臭みを消すための香料は著しく発展しているはずですよね。
そもそもが「地球の中世時代には無かったから」って基準がおかしくて、それは参考の一つにはなるけど、例えば中世ヨーロッパ風の世界観の飯屋でメニューに「天ぷら」があったとしたら、それは「合わない」だけで、別におかしいわけじゃないんですよ。
「揚げる」という調理法自体が地球では高価な調理法ですけど、油が簡単に取れる植物があったりとかして、逆に水は汚染されてて飲むための水は貴重とかだったら、「茹でる」より「揚げる」のほうが安価になりますよね。
食はその土地その土地での文化なのでローコストな調理法のほうが発展しやすく、揚げ物が豊富なことは不自然ではない。飯屋のメニューに天ぷらがあるなら、それなりのバックグラウンドを作ればいいだけ。

ここで、ぶっちゃけ多くの初心者が躓くだろうポイントは、
「こういう世界観」っていう世界観の整合性ばかりに気を取られてしまってる、というところ。
そうじゃなくて、「こういう物語を書きたい」というのが先にある。
で、その物語が成立する世界観を作って、その世界観（飯屋で天ぷらが出てくるなど）が成立するバックグラウンドを設定して、整合性や面白さを考えて微調整していく。
創作の仕方にもよるだろうけど、「世界観」など設定が先にあるわけじゃない。

「異世界に『ハンバーグ』があるのはおかしい」じゃなくて、「ハンバーグがある異世界」を作るんですよ。