まず。

前回と、今回のもう一つの質問「文章の表現を３文字程度流用しただけでも盗作になってしまうのでしょうか。」ですが、結論から言えばその程度で盗作になることはまずないはずなので、その点はご安心ください。
「その時、」「たとえば、」などは流用も何もごく有りふれた普通の日本語です。いちいち問題視されることは100％ありません。

「ねむにゃん先輩」と「ねむりん」については。
こちらは、「その時、」「たとえば、」とは少し事情が異なります。
何が違うかというと、

１）「その時、」「たとえば、」は文章上の一般的な語彙であるのに対して、「ねむにゃん先輩」「ねむりん」は固有名詞。

２）「ねむにゃん先輩」「ねむりん」は語感が特徴的で印象に残りやすい。

特に２の事情から、「あれ？　このニックネーム、何かに出てきたぞ」と思われる可能性はあります。だからと言って普通はこの程度で盗作とまでは言われないとは思いますが、少なくともプラスになることはなく、あまり印象が良くないのは否めないかと。その作品で賞に応募したいということでしたので、少しでも印象は良くするに越したことはないのではないでしょうか？　そういう話です。

＞猫キャラだというのを変えると口調や性格まで全然違う形になってしまうのです。

そこは変える必要はありません。

＞ねむりんにしようと思いましたが「まほいく」というライトノベルに「ねむりん」というキャラがすでにいましたのでこれについてもかぶってしまいます。

せっかく気に入ったニックネームに先例があり、変更したアイデアも被っていることが分かったら萎えるのは理解できます。かと言って、猫キャラにふさわしいニックネームがその二つしかないということもないでしょうから、私だったら別案を考えるだろうと思います。

ただまあ、そこまで大騒ぎするような問題ではないのも確かなので、スレ主様が変更が難しいとお考えなら、そのままでもいいと思いますよ。