そういうシリーズなんじゃないの？
例えばそこから６話目でまったく違うことをしても、雰囲気が変わっちゃうんじゃない？

共通の世界観で毎回主役が違うということはオムニバスなんだと思うけど、オムニバスの長所は物事を多角的に書くことが出来る点で、だから「一人はタクシー運転手」「一人はフリーター」「一人は女子高生」とかてんで共通点がない設定にすることが多い。同じ世界観で生きていても人物が違えば感じ方が違うから、その「違い」を表現する手法でもあるからね。
そのオムニバスの特徴を活かそうと思うのであれば、えーと、たぶん同じ学校が舞台なのかな？　その学校の生徒の一人一人にスポットを当ててる感じ？　そう仮定して回答するけども、だったら「その学校」がテーマのようなものなので、運動部の話・文化部の話・勉強の話・恋愛の話・教師の話もろもろ、学校内のことを物語を通して紹介するって考えでキャラクターを選定すれば自身の趣味があまり入り込まないで済むと思います。

けど、正直なとこ、そういうオムニバスを作るぞと考えての作品ではないように思うので、最初に書いた通り、これは「そういうシリーズ」なんじゃないのかなって思います。
「走る」と「歌う」の表現が多い青春もの、というシリーズ、そういうコンセプトなんじゃないのかな、と。
結果的にそうなってるだけで違うんだと言うのであれば、オムニバスを意識して「学校」を色んな角度から見る、そのためのキャラクターを想定してみると良いと思います。

＞既存のキャラクターと関係性を持たせようとすると、どうしても走ると歌うの繋がりにしかならないようです。
「走るのはめんどい」「歌は嫌い」というキャラを作ればいいんじゃない。
幼馴染とか同じクラスなだけとか、親友の兄弟とか、趣味は違うけど繋がりはあって「走る」「歌」以外の話題に出来る想定はたくさんあると思うよ。