あけましておめでとうございます。

いまいち質問の真意が見えないので、とりあえず以下の三つに分けてみます。

１）列記したうち、どれがよい名前だと思うか。

２）改名厨の状態をどうにかしたい。

３）飴井凜のままでいるにはどうしたらよいか。

１）について。

あくまで主観と個人的な好みですが、神崎菊と神木京都が好きかな。

神が３回出てきたと思ったら、なぜか飴になったんですね。（このお名前を拝見したとき、最初、餅と誤読してしまいました）

響きがきれいで切れのよい名前を模索されている感じがします。始音千尋もよいと思ったのですが、こういう名前って漢字を眺めているうちに「なんだか最初に思ったのと印象が違うな～」という気持ちになってくるんですよね。「始音」と書いてしおんと読ませるのだと思いますが、一般的でないため意外と印象がまとまりにくいのかもしれません。

神崎菊と神木京都がよいと思ったのは、「神」「菊」「京都」は一般的に定着している語なので、印象がぶれにくいからです。だから、「神木果音」より「神木京都」の方がよいと個人的に感じました。そして、一般的な字面ながら組み合わせ方がわりとお上手なんじゃないかと。また、「京都」という語を姓名の名に使うところなど軽く意外性もあります。

そうした旅路の果てに現状、飴井凛に行き着いたのは、想像ですが「神崎菊～始音千尋までだと気取りすぎと思われるかも？」と懸念されたのではないでしょうか？
そこで、飴井という名字で気取りすぎ疑惑を抑制し、名前の方をスパッと「凜」にしてバランスを取ろうとされている印象です。

２）について。

１のようなことを考えているうちに、以下の仮説に到達しました。

スレ主さまは基本センスのよい方だと感じますが、センスにこだわりすぎてハマってしまうのではないでしょうか？

なので、「妥協」を「習得できる高度な技術」と位置づけて目標にするのはどうでしょうか？

３）について。

＞どうしたら、飴井凛のままでいられるでしょうか。

とあったので、一応。
これについては、「そうしたいならそうすればよい」としか言えません。
しかし、「餅井凜」案にも納得されていないからこの質問になったわけでしょう？

だったらいっそ、気がすむまで改名し続けるのもいいのではないでしょうか？

それにあたって１の分析（まがい）が多少なりとも参考になるなら参考にしていただければと思います。
まあ、「なるほど～、こういう意味不明なことを考える輩もいるのか」程度に流して、取捨選択はおまかせします。