久しぶりに覗いてみた旧利用者です。
ご質問の件について。
小説に最適解は無いと思いますが、私がこれまで異世界転生モノを読んだかぎりでは、たいてい転生後のキャラ名に統一しているんじゃないかな。
御作の場合でいうと、意識は鈴木次郎でしょうが、作中の世界観の中ではマイク・スミスとして行動し他のキャラからもマイク・スミスとして認知されているわけですから、そちらを使う方が自然だと思います。
作品のコンセプトとして鈴木の意識と物語のギャップを強調したいなどの特別な意図があるなら話は別ですが、読みやすさを優先するならマイク・スミスかと。