あんま詳しくはないけど、というか古代と言っても時代と文化圏で内情は違うから大別して都市国家という枠組みを指しても「こうだ」と断定することは難しいんじゃないかと思う。

＞その都市国家間で戦争を行うことは可能なのでしょうか？
都市国家VS都市国家の図なら普通にあること。
ペロポネソス戦争はアテナイVSスパルタだけど、両方ともギリシャの都市国家。
でもそれはわかりきってると思うから、たぶん
都市国家内の王に従う地域Aと地域Bが戦争を行うという図、という感じの疑問なんかな？
パッと具体例が思いつかないけど、ないことはない。
普通ならそうした諍いになるのを防ぐのが王の役目でもあるから、正常な都市国家には無いと思う。あったとしても小競り合いで、兵士も「ここで死んだら馬鹿だよなぁ」とか思いながら戦ってたと思う。
ブチ切れてるのは領主のみなんて名前も残らない小競り合いの戦争は山ほどあったんじゃないかな。
ただ、わかりやすい例で言えば長男派の地域Aと次男派の地域Bといった、政争の要素が絡む内戦は起こりうるわけで、あるいは王が決断せず焦れた地域Aが勝手に仕掛けるって愚策をすることもあるだろうし、暗殺や謀略が露見して報復戦争なんてこともないわけではないと思う。

＞戦争を行う為には金が必要です
昔は、兵士（民兵・傭兵）に給料が出なかった事も多い。単純に軍資金という意味で言うと税収のみかなと思う。金よりも兵糧のほうが重要だったから、保存食を作るための塩の備蓄とか。
でもお金が不要なわけではないし、兵士もタダ働きするわけじゃない。
お金は、戦争相手から略奪することで補填していて、それは当然の権利でした。
なので戦力を整えるための武器工場や兵器の制作資金にはお金がかかりますが、そもそも「戦争するにはお金が」という考えが無かったと思う。
戦争したあとで考える事、じゃないかな。
戦争して相手を滅ぼすほどの価値が相手になければ戦争に勝ったところで損なので、逆を言えば王に贈り物を続けてれば滅ぼす価値がなくなるので、力のない豪族はそうやって都市国家の一員になったりしてた。
まあ、言い換えると何をしても滅ぼす価値のある土地（広大な農地があるなど）だと、それこそ軍資金なんて考えずに戦争ふっかけてた。

ファンタジーや漫画などの歴史モノだと、現代的な感性が混じるために略奪や奴隷は悪いことと断じる傾向があるので、そこで今回のようなお金に関する疑問が生まれるのではと思う。
略奪を禁止すると、民兵や傭兵の主な収入源が禁止されるって事なので、それと同等の報酬を用意する必要がある。つまり多くの軍資金が必要になる。
逆を言えば略奪を許可すれば兵士に払う報酬を用意しなくて良いし、現代と違って弾薬など消費する装備が少なく（矢などは戦闘が落ち着いたら回収してた）、事前に用意すべきは兵糧くらなもの、……って言うほど単純じゃないとは思うけど。

＞富裕層には
ほとんどイメージで語ってる部分も多いんだけど、そもそも富裕層の中でも貴族に類する人は領地を持ってるので、税収が主な収入源です。
それ以外の事は商人や芸術家に出資したり個人では難しい貿易に手を出したり、という感じです。
富豪になった商人は、もちろん商売で財を成しますが、金持ちのステータスになるようなモノはいつの時代も「他者が持ってないような珍しいモノ」なので、貿易を利用して、という感じになるでしょう。
シルクロードの絹製品や香料が代表的ですね。
でも、それを「戦争の軍資金とするために商売してる」というのはちょっと変だと想う。
フランシス・ドレイクがイギリス国家公認の海賊になって仮想敵国のスペイン相手に略奪しまくったけど、それで持ち帰った財産はイギリスの国庫の２倍だか３倍だった。
これは稀有な例だけど、そういう略奪が当たり前の時代にチマチマ商売して軍資金ためてる、というのは変かな。

つまるところ、これは個人的な意見でしかないけど、古代や中世において戦争っていうのは「お金を稼ぐためにするもの」という側面もあったので、軍資金というのは考えにないのではないかと。