ビデオカメラで合ってます。
正確にはカムコーダですが、一般的にはビデオカメラで通ってるでしょう。
ハンディカムとも言われるけど、こっちは確かソニーの商品名。
ちなみに携帯オーディオのことをウォークマンと言うことがあるけど、こっちも商品名。スマホで音楽聞ける今からすると音楽を聞くための機械を出す事が稀だろうけどもｗ

セリフや地の文などで「ビデオカメラ」と書くのが何か変だなと感じたのだとしたら、それはおそらく普通はただ「カメラ」としか言わないためでしょう。
「撮影用のカメラ持ってこい」とか「大事な試合だからカメラで撮っとけ」とか、文脈で写真か映像かの判断はつくので、「カメラ」で良いと思います。
これが「試合をビデオカメラで撮っておけ」となるとなんか説明臭くて変だと思う。

ビデオ機器がVHSからDVDやBDへと移行したのもあって、OVA（オリジナル・ビデオ・アニメ）のことを今はOAD（オリジナル・アニメ・ディスク）と言う事もあるように、技術の進歩によって名称が変わったりすることもありますが、ビデオカメラのビデオは単純に動画の訳でしょうから、今でも名称は変わっていません。