＞「問題解決に向けて一歩を踏み出した」っていうラストでもいいのでしょうか？

ストーリーの背景としての「問題」と、そのストーリー上で主人公が解決すべき「問題」は必ずしもイコールでなくてもいいのではないでしょうか？
公害のような社会性をはらんだ大きな問題は、そう簡単に完全解決などできないのが当然です。主人公に取り組ませる課題はその中の一部でもかまわないと思うんですね。
考えるべきは、主人公は何がしたいのかということ。病気になった恋人の健康、あるいは心を救いたいのか？　空気汚染に対して問題意識の低い周辺住民を目覚めさせたいのか？　腰の重い行政を動かしたいのか？
ストーリーの進行の中で主人公の問題意識と目的を明確に提示することが大切で、それによって物語に太い軸ができるんです。そして、そこが曖昧なまま終幕を迎えたら未解決、何らかの着地点を示せれば解決。
ストーリーが完結したかどうかという点に関しては、私はそういう考え方です。
要するに「（一朝一夕で解決できないような大きな）問題の解決に向けて一歩を踏み出す」ことが主人公の目的なら、一歩を踏み出せれば目的クリアじゃないですか。

なおハッピーエンドを定義してもあまり意味は無いような気もしますが、上記のラインにそって主人公が望む方向の結末を迎えればハッピーエンドということになるのではないかと。