ハンターハンターの場合は、そういう想い（念）の強さが能力の強さにもなる、という設定なので作中はっきり明言してなかった気もするけど、技に名前をつけるのは大事なこと、という感じだったような。
ハンタの場合は「念能力」という名称もあって説得力を持つ設定だけど、これ単体でも通用する汎用性のある設定だと思うので、別にそれで問題ない気がする。

「念能力」を例にしたのは、その名称や設定などを知らないとスッと腑に落ちる回答を用意することは難しいということを知ってもらえれば、という気持ちがあります。
「念」能力だから「念＝想いの強さ＝自身の能力へのこだわり＝名称も大事」という図式が成り立って、上手く噛み合うわけですね。

なので、能力の設定や能力に関連する設定を知らないで答えられるものとしては、能力の名前に限定しない「名称」の付け方、考え方になると思います。

１．もともと名前がついてる。スレ主さんは避けたいと考えられていますが、私は使用したことがあります。
恥ずかしくてあんま晒したくない昔のネタなんですが、物理現象や仮説＝能力という考え方で「フェルミのパラドックス」という能力を持ってる人物は「可能性が高いことを条件に矛盾を生じさせる」っていうわけわからん能力を持っていました。
仮説や定説で優劣があって、公式を持つ者はピンポイントで万能で対応する公式を持っていないと対処できない……とと、脱線してしまいましたね。
まあともかく、おそらくだけど、スレ主さんが想定してる「もとから名前がついてる」状態と私の作品の例は、ちょっとニュアンスが違うと思う。
それは上に書いた「能力の設定」の話であるためですね。私の場合は名称もクソもない「そういう名前の仮説が能力になったもの」なので。
なので、設定を利用すれば「もともと名前がついてる」も考慮に入ると思います。
よくありそうなのは、「能力」に名前があるんじゃなく、その能力を与えてる神霊とか幻獣とかの力で能力を行使できるために「◯◯（神霊など）の力」としてる場合ですね。
神ではないけど「ブリーチ」の斬魄刀の設定なんかソレですね。「この斬魄刀の能力は…」とよく言ってた気がする。

２．他者に「名付け」をされる。「通り名」とかと同じ考え。
灼眼のシャナなんかは「炎髪灼眼の討ち手」と呼ばれているだけで、自身でそう名乗ったわけでも能力に名前があるわけでもない。そのため「眩き炎」とか、彼女の事や能力である炎を示す形容詞が変わったりもする。
シャナも超常的存在と契約して力を行使するので１の考えで能力名というか能力を示す単語を使うキャラもいたと思う。

３．キャラが自分で名付ける。ハンタの例で示したけど、ようするに「命名してなんなの」という設定がちゃんとあれば良くて、それには「自己顕示欲」とか「登録のための名称」とか能力とは関係ない汎用的な理由付けか、「能力自体に呼びかける必要がある」とか勝手に妄想して設定を付け加えるような事でしか、能力の設定を知らない第三者には答えは出せない。

１．２．３．と例をもって説明したけど、これってようは「自分で名付ける」「他人が名付ける」「もともと名前がある」と、「名付け」にあたってそれが誰かって話をしてるだけのパターンです。
例外として「誰にも名付けられない無名」というのもあるけど、それじゃ記号として役に立たないので、例はあるけどここでは除外。

能力の設定を利用してどうするかを決めるのが一番しっくりくると思うし、それは把握できてる作者さん以上の案はないです。あるとすりゃ、既に実践されてる名作などで、ハンタの例が汎用的なので素直に既存作を参考にしましょう、としか。
まあ、正直オススメ度で言えばスレ主さんは避けたがってるけど「もともと名前がある」ですね。
「もともとそういう名前」なので、説得力がダントツなんですよ。
Fateシリーズの宝具なども「エクスカリバー！」で衝撃波を出すけど、アーサー王なんだからエクスカリバーなのは道理でしょ。みたいな。
２の「他人が名付ける」は、ゴットファザーみたいな命名する誰かがいないのであれば基本は通り名と同じなので、気ままにノリで命名できる人ならやりやすいと思う。
その能力を評価する人物や組織によって呼び名が変わっても違和感ないので。
３は、正直「名付ける理由」を考えるのが難しい。
名付けることで能力を自身に定着させるとか、能力発現のためのイメージ作りの一環であるとか、汎用的なのはそんなところじゃなかろうか。