どっちでもええやろ、と思ったんだけど、考えてみると自分の中に答えがないかもしれない。
例文の場合は、前者は漢字で書くことが多いかもしれない。
でも、例えば「手を出す」って言葉の場合は「手をだす」と書くことが多いと思う。
なんでだろう。
いま思いつく程度の回答ではあるけど、たぶん「実際に行動が伴う場合」は漢字にすることが多いかな。一方で「比喩ないし抽象的な場合」はひらがなで書くことが多い気がする。
「手をだす」って本当に手を動かしてることを指してるわけじゃなく、「口をはさむ」とかとほぼ同義の横やり的な表現でしょ。
あんま意識してなかったけど、たぶん私の中では漢字にすることで漢字に含まれる意味合いが強調されてしまうと考えてるのかな、と思う。
だから、「動き出す」の場合は「本当に動き出す場面」で使うことが多いから「出す」は漢字で書くけど、同じ言葉でも「そうして事態は動きだした」みたいな比喩として使う場合はひらがなで書くことが多いかもしれん。
なので後者の「始めだした」はひらがなで書くことが多いかな。
自分の過去作を読み返さないとわからんけど、例にした「手をだす」も、実際に手を出して相手を静止させるような場面では「手を出す」と漢字にしてるかもしれない。
「咄嗟に手が出てしまった」とか、うん、やっぱ「出した」ということにアクセントを置きたいような実際に行動に出てる表現の場合は漢字にしてると思う。

ただまあ、これはあくまで 私がそう思ってる ってだけだから、正しい使い方ではないのは確実。
読む人が読めば「表記ゆれ」と言うだろうし、でも私は最初に書いたとおり どっちでもええやろ と思うので、感性でやっちゃってる。