こんばんは、ドラコンです。
　
　>私が考えている異世界スローライフもので、主人公は異世界へ転生するにあたり、１つだけ願いを叶えてもらいます。

　>例えるなら、「ハンブルクが無い世界にハンバーグという名前の料理があるのは不自然か。」という問題を、いかに解決するかと言うのも、その一つだった訳です。

　迷える狼さんは、第一研究室の「世界観に合わない描写をしてはならない」とのタブーに引きずられていませんか。
　
　https://www.raitonoveru.jp/howto1/tabuu/04.html
　
　確かに、同研究室の記事「世界観に合わない描写をしてはならない」の中に、

「その世界に存在しないモノを描写に利用するのは御法度なのです」

　と朱書きされています。ですが、主人公がハンバーグが存在する世界からの転生者であれば、その世界に【「ハンバーグ」は存在】します。
　
　前景記事にはこうあります。
「ジェット戦闘機って何？　潜水服って何？　と、ここでも違和感を感じませんか？
　ドラゴンや人魚という幻想種族の名と一緒に使われていると、その悪しき効果は倍増です。
　その世界にジェット戦闘機や潜水服といったものが存在していれば問題ないですが、そうでないなら、このような描写をしてはいけません」

　お読みになれば、お分かりの通り、「ジェット戦闘機」「潜水服」がない世界で、「ジェット戦闘機」「潜水服」との語は使ってはいけません。ですが、「ジェット戦闘機」「潜水服」がある世界から来た登場人物が、これらの語を使うこと自体に、何の問題があるでしょうか。それで雰囲気がぶち壊しになることはありません。もちろん、他の登場人物には通じないでしょう。

　それに、この記事は「異世界移転・転生モノではない、正統派ファンタジー作品を前提」にしている感じがします。

　異世界転生モノであれば、転生前の知識・技術を異世界で生かすことは、大きな魅力の一つです。ですので、ハンバーグを知る主人公が「ハンバーグ」と呼んでも、全く違和感はありません。

　ただ、異世界人には、実際に食べさせることも含めて、「ハンバーグがいかなる料理であるか」を、きちんと説明する必要があります。そうでなければ、通じません。

『現実主義勇者の王国再建記』10巻では、主人公が軍部隊の隊長相手に、三国志ネタを連発しますが、「通じなくて不便だ」とぼやいていました。当然です。
　　
　それでもこの問題が気になるのでしょうか。ですが、実は解決は簡単でしょう。

　あくまでも一案です。先に回答された手塚満さんのご回答とも重なります。ハンバーグの作り方を細かく書いておきさえすれば、ハンバーグを知る人（読者）は、「『ハンバーグ』と書いてなくとも、『ハンバーグ』」と認識できます。

　後述する北京ダックならともかく、ハンバーグなら多くの人が食べたことがあります。料理をしない人でも、大体の作り方は想像がつくでしょう。

　既に取り上げましたが、古代中華風架空世界が舞台の『薬屋のひとりごと』9巻、1790年代の北京が舞台の『親王殿下のパティシエール』4巻では、主人公が北京ダックを食べる場面が出てきます。

『薬屋のひとりごと』では「北京」がない世界なので「家鴨の丸焼き」、『親王殿下のパティシエール』では「北京ダック」と呼ばれる前だったのか「炙鴨子（ジーヤーツ）」でした。

　ただし、両作とも北京ダックの食べ方の特徴である、丸焼きにしたアヒルの肉をネギと一緒に薄餅に巻いて食べることは書かれています。

　北京ダックの食べ方を知っていれば、「北京ダック」と書いていなくても、分かりますね。ただ、肝心の北京ダックがどんな料理かを知らぬと、分かりづらいでしょうが。

　参考・Wikipedia「北京ダック」
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8C%97%E4%BA%AC%E3%83%80%E3%83%83%E3%82%AF

　また、あまくささんや、手塚満さんがおっしゃっているように、「ハンバーグに作中独自の別の名前を付ける」のも良いでしょう。ですが、その場合、読みにくくならないか？　とも感じます。
　
　作中の人名・地名が覚えづらく、たびたび登場人物一覧や地図を見ないといけないのは、ストレスです。それらすらないとなると、なおさらでしょう。