＞また、情緒不安定なのか誰も気にしないようなシーンで泣くことはあるし、

＞自分には感受性なるものをまだ得る余地があると考えたいです。

誰も気にしないようなシーンで泣くのであれば、スレ主様には感受性が無いのではなく、心に刺さるポイントが他人と異なっているということだと思います。
そしてそれは直さなければいけないことではありません。むしろスレ主様独自の感性を大事にする方がよいと思います。

スレ主様は他人と感じ方が違うことにひるみ、自信を持てないでいるだけではないでしょうか？

＞絵柄やシチュエーションだけではその本人を好きになる意味は薄いでしょうし、

そんなことはありません。
現実の人間関係でも、他人の心の中なんて見えないじゃないですか。見えるのは姿や行為だけで、そこからその人の内面性を想像しているだけなんです。

小説やアニメではキャラクターの心の動きを、あたかも自明なことのように描きます。しかし、それは作者の作為に過ぎず、プロや上級者は実はテクニックでそれを読者に納得させてしまっているんですよ。しかし、そういう作為性がわりと見え透くこともあり、私だって他人の作品を読んだり観たりしていて、「ここで感動させようとしているな」と思うだけでまったく感動できないことはよくあります。逆に、何でもないところで他愛なく泣いてしまうこともあります。

スレ主様が他の人が感動するようなところで感動できず、別のところで泣かれるのだとしたら、むしろそここそが創作者として重要な資質に触れている部分なのではないでしょうか？

他の人が感動しがちな部分と、スレ主様が心を動かされる部分の特徴を冷静に分析・比較し、どこが違うのかを検討してみることをお勧めします。
ご自分の心そのものを変える必要はありませんし、むしろ変えちゃいけないんだと思いますよ。