必要か不要かで言えば、好きにせい、という感じ。どっちでもいい。
ただ、書いてて自分でも思ったと思うんだけど、例文みたく短い文章の場合は鉤括弧を入れないと句読点が多くなって文章がちょっと読みにくくなる。

鉤括弧を入れない場合は、例えば
けたたましく鳴る目覚まし時計を止めて、最近の朝はよく冷えるなと小さく身震いした。
とか、文章構成を少し考えた方がいいかもしれない。
とはいえ「目覚まし時計を止める」「身震いする」「独り言をつぶやく」という行動をそれぞれイメージしてもらいたいとか意図があったりもするし、そういう場合はそれぞれのイメージを句読点で区切って多少読みにくくても例文のようにしても良いと思う。
私の例文の場合は、誰もいない空間ならそもそも独り言なのは書かなくてもわかるので省略して、「寒い」という感情と「身震いする」という行動は同時だろうと思ったのでそこをくっつけた。

私の場合の一人称だと、地の文にセリフを置くときは、主人公のセリフは鉤括弧なし。他キャラのセリフは鉤括弧ありで書くことが多いかな。