まずは日常パートという考え方が間違っていると思う。
例えば女児向けのプリキュア的なアニメをイメージしてみてください。
とはいえ私はあんま見ないので私のイメージ自体がかなり偏見かもしれませんが、だいたい前半部分がいわゆる「日常パート」で後半部分で変身して敵をやっつけたりして問題解決してるんじゃないかなーと思います。
この「日常パート」と思われる前半部分は、読者ないし視聴者は話の全体像を知らないので日常風景に見えるだけで、物語構造的にはこれは「日常パート」ではなく「導入部分」です。
例えば「正体不明の強い敵」がいる。その正体が主人公の親友であると登場人物は誰一人知らず読者だけが知っている。そういう状況を考えた場合、後半で主人公と正体不明の敵が戦うシーンを盛り上げるためには、前半で「主人公と親友が仲良い姿」というのを印象付けたほうが良い。だから前半に「仲が良いというシーン」があるわけで、これを指して「日常パート」とか「日常シーン」とは言わないと思う。
日常に見えるシーンは「日常シーンを書きたい」という目的で「日常」が書かれているわけではないので、「日常パート」という考え方は間違っていると思う。
そういうパートで区切って分けて考えるのは選択肢次第でシーンが前後するノベルゲームの考え方かな。

以上から「日常パート」を書きたいと思うのであれば、「日常」だけで話をまとめて幕間的な箸休め回にすべきだと思うかな。
そうではなく長い話の中で、例えば「夜は仕事人・昼は普通の高校生」とかで「昼パートのドラマを考えてないから何か日常パートを……」って考えだとすると、懸念されてる通り、読者の興味はその日常パートには無いので、飽きられてしまうと思う。
こういう場合は書くことないなら「昼」の日常パートはサッと流すかカットしてしまうのが妥当で、日常と非日常を強調したいから昼も書きたいと思うのであれば、昼は昼で、あるいは夜の導入として布石として、ちゃんとドラマを用意するべきでしょう。

＞一つ目は、日常パートは全体でみて何割に抑えるべきか(あるいは書くべきか)
前述した通り、そもそも「日常」と「非日常」をパートで分けてないので、そういう何割とかで考えてる人はほぼいないんじゃないかと思う。
非日常のための導入で書く、非日常で登場する敵の素性を日常で書く、そういう考え方。
単純にその文章量の割合はという意味では、作品ごとに違う。
日常に重きをおいて物語の問題解決のために非日常の設定を使うという形だと非日常は２割もない場合もあるし。
作品のコンセプトや作者がやりたいことによって変わる。

＞二つ目は、どのように書けば日常パートでも読者を惹きつけられるか、
そもそも日常と非日常は分けないので、１個の物語を書く上でどの部分を日常で表現するかっていう選択の問題。
例に出した「正体不明の敵の素性」とかは、「素性」である以上は仮面をかぶる非日常より素が見える日常で書いた方がいいとわかるでしょ。
とりあえず設定かあらすじか、物語の要素になるものを箇条書きにしてみて、この項目は日常のほうが良い、非日常のほうが良いって想定してみて、それを書けば良いと思う。
そうすると非日常と日常が物語構造上では地続きになるので、非日常のエピソードが一段落した時点で日常にシフトしても話題がぶつ切りになったという感覚も無いので、普通に読者の興味は続くと思う。
一応補足までに。
読者の興味は、スレ主さんの作品を読んで読み続けてる以上は「その作品の本筋」に興味があって読んでるわけですから、「話の本筋」から外れなければ読者の興味は惹きつけられ続ける。
そこで興味が削がれてしまう場合というのは、話がぶつ切りになって本筋が止まってしまったり、本筋の魅力が十分に出せてない展開にしてしまったという場合。
日常を書くことで魅力が薄れるんじゃないかという懸念もあるが、そりゃ「戦闘」「能力」「無双」なんてアクションが売りの物語で一切その魅力が出ない日常を長く頻繁に書いてりゃ飽きられて当然で、もしそうなら素直に日常はカットしたり軽く流したりする程度でさっさと「売り」になる要素を持ってきたほうが良いと思う。

＞三つ目は、日常パートの書き方
前述したように要素を箇条書きにして日常で書くべきか非日常かの選択を最初にやったほうがいいと思う。
でなければ、話を最後まで（プロットなどで）作ったあとに、クライマックスやオチの部分を強調するために主人公とライバルの関係性を日常で書いたほうがいいな、と日常で書ける布石を追加していくのが良いのではないかな。
こうすると、これは「日常パート」ではなくて、本編の非日常のストーリーのうち一部を日常で表現している、という事なので、特に書き方で困ることはないと思う。

日常・非日常と分けて考えて「日常パート」とそこだけに注目して考えるのではなく、物語全体を見て全体で日常部分の役割を考えた方がいいんじゃないかな。