＞もう受け入れられないのではないかと自信をなくしてしまいました。
どんなの書いてるのかわからんけど、もし時代遅れ感があるネタを書いているのだとしたら、「そんなことはない」と返します。
最近アニメでリメイクが散見される印象だけど、ストーリーはともかく絵に関しては「現代風にアレンジ」されてるでしょ。
古いネタを扱ってるならそういうアレンジ力が必要。
これはつまり「現代の読者層に合わせる」ということで、強いては「読者を意識しましょう」という言葉に繋がります。
それが出来れば古いアイディアは扱う人が少ないのでむしろ武器になる。
そしてそれは、ネタが古いとかじゃなく自分のセンスが受け入れられないのでは、という漠然とした場合も同じで、要するに「読者を意識できていない」のが最たる理由だと思う。

というのも、それは
＞あちらが「求めているものを書いてください」というのもあるからです
このあたりの発言からも伺える。
そもそも、「こういうのを求めてます」と言われて「はいわかりました」と言えるのがプロです。
つまり相手の期待に応えられるのがプロです。
だから、「求めるものを書いてください」と言われることはプロとして期待されているということだし認められているということだし、「仕事が来る」というありがたい事です。
それを「自分が書きたいものを書けない」と感じてしまうのは単純に実力不足の現れだし、意識も足りてないと思います。
「相手が求めてるもの」の中でどうやったら「自分が書きたいものを書けるか」と考えなきゃダメだよ。
例えばホラー作家が「ファンタジー書いて」と言われたら、暗がりから怪物に見つめられてるような恐怖とか、テンプレモンスターではなくジワジワと人知れず侵食してくるような怪物を創作したりとか、「ファンタジー」の中で「ホラーを書く」ってことをする。
「求められた事の中」で「自分のしたいこと・自分の仕事」をする。
自分が書きたいものだけ好きなときに書くって事をしたいなら、仕事にしないで趣味にしておかないと精神を壊すので、プロは諦めた方がいい。
プロは基本的には「求められたもの」を「期待通りに仕上げる」ことが仕事。
読者ないし読んでくれる相手をちゃんと意識して「求められるもの」を想定して、その期待に応えられるようその範囲内で「自分がしたいこと」を書くんだよ。
読者を意識せず自分が書きたいことだけ書きたいのなら、繰り返すけど、仕事にはしないほうがいい。

＞「書こう」というのができないもの現状です。
やる気が出ないって話かな？
それはおそらく、受賞作との実力差を見せつけられて、今のままではダメだとわかっているけど、突破口が見つからないのでいくらやってもダメだと無意識が働いて筆が動かないだけでしょう。
なら突破口が見つければ良いし、「なるほど、これで上手くいくかも！」と思える何かに出会えれば良いだけだと思う。
個人的には上に書いた「読者を意識しよう」ってことが感覚として理解できれば解決すると思うけど、私の回答は言ってしまえば「それが出来ないならプロは諦めろ」って切り捨ててるから、こんなんじゃやる気は起きないでしょう。
それについては他の方の回答に任せる。

＞どうすればこの問題を解決できるのか教えていただけないでしょうか？
「自分が何を書きたいのか」ではなくて「相手は何が読みたいのか」を考えないと商品としてのクォリティにはならない。
まあ、中には「自分が書きたいもの」と「相手が読みたいもの」が偶然にも一致してるって作家もいて、彼らは技術的には未熟でもWebで一気に読者を獲得したりすることもある。
けど、基本的には初心者がいきなりこんなこと考えても、そもそも「読者を意識する」って概念自体が言葉の通りに捉えちゃって誤解したりするから、長々書いたけど、こんなん考えても意味ないと思う。
まず「自分が書きたいもの」が曲がりなりにも書けるようになってから、つまり、「作者が想定したものを想定通りに書ける」というだけの技術を身に着けてから、それでようやく「読者を意識し、相手に合わせる」ってことが出来ると思う。

余談だけども、書いた手前、一応、勘違いしちゃうかもしれないので「読者を意識する」について少し触れると、
これは別に「読者が読みたいものを書け ＝ 流行を書け」ってことじゃない。
流行を扱うのも手段の一つではあるけども。
例えば、誰かと会話をするとき、「自分が得意なことだけをしゃべりまくる人」ってのはあまり好かれないでしょ？　そんな人の話を好んで聞くことはないじゃない。
でも、「自分の専門を興味深く話す人」ってのはいるでしょ。
こっちとしてはまったく興味ない分野の話なんだけど、なんか妙に話が上手くて聞き入っちゃうな、って人。
そういう人ってのは、ちゃんと相手を見て（想定して）話をしてるから相手もちゃんと聞いてくれるのよ。
相手が１０代だったら１０代が興味を持ちそうな例え話を入れたり、一部を誇張してみたり、逆に１０代には難しい場所は端折って簡潔にしてしまったり。
これが「読者を意識しましょう」ってこと。
１０代読者だから１０代が興味あるネタを扱えばいいんだ、ってことじゃない。「ちゃんと意識しましょう」ってこと。

脱線しちゃったけども、受賞作と自身の作品を読み比べて自分に実力がないと思ったのであれば実力をつけるのが最優先。
そのためには「読者を意識する」というのが大事だけど、書いたように１作２作書いたことがあるくらいの人に求めるレベルではないので、まずは「自分が書きたいもの・想定したもの」をちゃんと形にするって事を目標に短編か掌編でも書いて練習してみると良いと思う。
そして必ず誰かに読んでもらって感想は聞く。
たぶんボロクソ言われると思うけど、その感想の中で大事なのは「自分が書こうと思ってたものはちゃんと読者に伝わっているのか？」と判断できる事なので、作品の面白い面白くない上手い下手で一喜一憂しないこと。
面白いと評価されても「書こうとしたことが書けてない」のなら失敗作。
逆につまらないと酷評されても「書こうとしたものが伝わってる」のなら大成功。
それで「書こうとしたものが書けた」と思えるなら、ようやく「読者を意識する」って考えに入って試してみるのが良いと思う。