エヴァでは特務機関ネルフ（ドイツ語で「神経」の意）の前進がケルビン（同じくドイツ語で「脳」の意）という組織でしたね。これを組織する切っ掛けとなったのが「人工進化研究所」という研究所です。
エヴァではゼーレ（ドイツ語で「魂」の意）なり、マルドゥク機関（バビロニアの主神の名前）なり、多くの組織名が出てきます。

厨ニ心くすぐる名前というのは、一見複雑そうに見えて本質は実にシンプルなものが歓迎される傾向にあると思います。
厨ニネーミングの走りになったのがおそらく幽遊白書の「邪王炎殺黒龍波」で、こうしたダークなイメージの要素を盛りまくる印象が強いですが、私の知識不足かもしれませんが、ネタ以外でこうした「盛りまくる」ネーミングで有名なのはあんまない気がします。
シリアスな話で厨ニをくすぐるのは、エヴァの組織名に代表されるようなシンプルなネーミングではないかな、と。
――というか、リアルに考えると、ボツ案とありますが「対〇〇軍事研究機関ゲノム解析・育成実験課」というのはそこで働いてる職員は自分の研究機関を何て呼んでるのかな？　ってことになる。
あんま複雑なネーミングだと、見た目はいいかもしれんけど物語の中で登場させにくいんですよね。
「対◯研」とか「育成実験課」とか略称で呼ぶとカッコよくなくなってしまうでしょ。

シンプルなネーミングでよく使われるのは、神の名前や神話の用語などを当てる事ですね。
神の名前などは「◯◯を司る」という、単語自体に意味があるので、例えば生命を生み出す研究をしている機関は「アドニス機関」とか。ラテン語でギリシャ神話の死と生命を司る神の名前です。「生命を研究してる機関っぽい」でしょ。
また、エヴァに習えば組織全体を人の身体に例えて「リングア」「オクルス」「アウリス」「ペリス」「ナーレス」という感じにしてもいいですね。
人の五感に関わるだろう箇所「舌・目・口・耳・鼻」をラテン語にして、日本語で発音しやすいよう多少いじった感じです。
こうした単語に「機関」とかつけりゃ、それっぽいかなと思う。
神の名前を頭に持ってきて、その五感を各組織名にしてる感じで「アドニス機関の解析部門オクルス」とか。
横文字が嫌で漢字だけにしたい場合は、「人工進化研究所」みたいなシンプルでわかりやすい組み合わせのほうが良いかと思う。
例えば「対◯研究所」とか。
個人的には、大本の組織の名前を横文字、その下部組織を漢字のみ、という表現が一番いいと思う。
「アドニス機関の対◯研究所」という感じですね。
全部横文字だとカッコつけが過ぎると思うし、大本だけ横文字なら日本の意思だけではない国際的な広い意思の力が働いてるように見えると思う。その下部組織ないし日本にある一部が主人公のいる場所です、みたいな。
他には、組織の下部組織には番号を振ってしまうというのもよくあります。
「対◯研究所第二実験部門」とか。
数字を振ると、上記例の場合「第一」が前にあるのは確定で、その他「第三」「第四」もあるかもしれない、というイメージが膨らみます。
要するに「組織の大きさ」を暗にですが表現できるわけですね。なのでよく使われます。

神の名前を借りる、単純に人体ないし何かしらのモチーフを外国語にしただけの単語、というのはよくあるパターンですが、モチーフに「五感を使う」などルールを決めるとネーミングも決まりやすく、その名前で組織の色が出せるので優秀なネーミング方法です。