小説家になろうに歌詞の引用ガイドラインがあって、いろいろ詳しいのでリンク載せときます。

歌詞転載に関して
https://syosetu.com/site/song/

　まあ、これを守っておけば絶対大丈夫っていう、かなり厳しい基準ですね。
　法律的には引用の規準が満たされていれば問題ないので、楽曲名が分かるようにしとけばだいたい大丈夫なはずなんだけれど、もしかしたらＪＡＳＲＡＣから怒られるかもしれないので、トラブルを避けたいなら上記なろうのガイドラインに従うのが賢明かもしれない。
　つまり、著作権者に許可が取れた曲or著作権が失効している曲(著作権フリーの曲とか作者の死後70年以上経過している昔の曲とか)を使えばOK。『自分で作った歌詞』なら絶対大丈夫。

＞また、登場人物にカラオケとか行かせた場合ってどういう風に表現したりしてますか？

　歌詞の内容がストーリー上で意味を持つわけではないのなら、そもそも歌詞は書く必要がない。Ａ子はマイクを握りしめて熱唱した。軽快なＢＧＭにＡ子の伸びやかな美声が重なる。云々……。などと書けば"カラオケで歌ってる"ってことは読者に伝わるし、それで十分。