少々前置きをさせて頂きます。

>冒頭も冒頭なので、あまりごちゃごちゃ書かない方がいいかな
>どちらかというと淡々とした描写で書かなければならないこと

ご質問にある、上記の二点に重点を置いて書き込ませて頂きます。
まずは気になった部分から。

○） 父親・陽斗40歳で、天文学者（大学教授）
かなり注目しました。
感想は「お～優秀な父親だったんだな」です。
いや、もちろん40才の天文学教授だってありえます。
そういうことではなく、少々突出気味に感じます。
（もしも）読者に引っかかりを持って欲しくないならば、”頭の隅っこに居場所を造らない” ”伏線と勘違いさせたくない”こういう方向に舵を切るならば、スラッと読み飛ばすような世間一般で年齢的にも普通の肩書き（例えば40才なら助教授）の方が相応しいのでは？　というだけです。
無論、御作で『教授であること』が重要な設定ならば、この限りではありません。

>葬儀の手続きは主人公が行ったことになるかなと思います。

喪主である母親が精神的に衰弱しているということですので、女子高校生（15）が葬儀の主導権を握ることは良いと思います。
もちろん、これも前項と同じに『少々突出気味』ですが、こちらは主人公ですので全く問題には感じません。
むしろ行動がキャラクターを語っていて良いと思います。
冒頭とのことですが、（しっかりしている）（お母さん思い）こういった印象を持ちますので、後の展開がどうあれ『主人公はしっかり者（という一面をもっている）』という読者への印象づけにもなります。

>陽斗の大学の学生、ゼミ長や近所のおばちゃんたちが手伝ってくれたりした

御作にとって『父親の教え子を初め、親しい大学関係者』『近所のおばちゃん』が重要な役柄ならば、それで良いと思います。
が、もしも物語での重要性が低かったり、冒頭以降に出番が無いならば悪手にすらなります。（書くならばサラッと、という意味です）
葬儀の手伝いをしてくれた人物が重要で無ければ『葬儀会社にまかせっぱなし』で良いのではないでしょうか。（事実、相手はプロですので完全にお任せで葬儀を進行してくれます）

>精進落としを食べた後は、自宅には仏壇がある状態なんでしょうか？

精進落としですが、葬儀後の食事で結構でしょうか？（初七日や四十九日あけではなく。現代では一般的に葬儀後の食事を指すことが多いので）
以下は、そうである、として書きます。
設定を読む限りですが、その仏壇は父親用（先祖代々ではなく）ですよね？
でしたら『仏壇はない』で問題ありません。
むしろ父親用の仏壇が葬儀後にあると、（小説として）妙に引っかかりますし、推理要素が多少なりとも入る小説ならば、まぁ内容によりけりですが場合によっては親族の犯罪も疑っちゃいます。（ここまであからさまだとミスリードの印象ですが）
仏壇ですが、多くの場合、別段決まりはありませんので、おおよそ四十九日ぐらいに合わせて用意するお宅が多いように思います。（もちろん宗派によります）
とはいえ、世の中いろいろですから、やたら気持ち悪い仏壇大好き仏教系新興宗教もありますので一概にはいえませんが（笑）

>40歳大学教授である陽斗の葬式は家族葬でも良いと思いますか？

ん～。
まず、大学教授ならば（営業的な意味だけで無く）葬儀社がやんわりと反対意見を出すだろうと思います。
大学の教授というと、多少なりとも学内での政治的な付き合いがあったはずで、そういった世界では旧態依然の手続きを固持する、という印象はあります。
というか、こういった世界は『家族葬にする理由』を外野が気にしますので、遺族の方も苦労します。（この場合、固持するであろう人はショックを受けてる母親。細々とした事が出来ずとも護ろうとする一線ですね）
もちろん家族葬がダメという意味はなく、葬儀社も要望に逆らうことまではしないでしょうから、不思議はありません。
あくまで『読者の印象に残さないならば』です。

>式場は自宅（一軒家）ですか？　それとも、どこか葬儀会場で行った方が自然でしょうか？

都心ならば、葬儀会場が多いですね。
かなり昔からある、お屋敷が並んでいるような所なら自宅でされることも多いですが、一般的な普通の住宅地ならば葬儀会場が多いはずです。

>家族葬の場合、親戚がいないので、ご近所さんとゼミ生、大学教授が数人来たとして、何人規模になるでしょうか？

語感優先で書きます。
【家族葬】極近親者のみ（血縁者+友人）で葬儀場で簡単にすませ火葬、という流れが多いように感じます。人数的には10人前後、多くても30人ぐらいまで、でしょうか。

ご近所さんやゼミ生が参列されるなら、それはもう家族葬というより、普通の葬儀になるように思います。
小さな葬式、でよいのではないでしょうか。

最後に。
個人的に付き合いが多いので不幸ごとの挨拶も比較的よくする方だと思いますが、葬儀を出された人（喪主）がよくいうのは『葬儀社にまかせっぱなし』です。
これは尤もなことで、多くの人は（父母のいずれか残された親）で一回、年配の方で（連れあいを亡くされた）で二回目。
あと可能性があるのは（子供）ですが、そうはありません。
要するに、定年近くの部長さんだって喪主をされるのは生涯で初めてか、二回目です。
地域性もあると思いますが、田舎だと近所総出で手伝ってくれますので全く知らなくとも周りが手配してくれますが、都心だと葬儀社が仕切るケースが多いように思います。

ではでは執筆頑張って下さい。
応援いたします。