モネさん、こんにちは。
３つの世界が重なった異世界とすると、難しく感じるので、独自の発展を遂げた３つの国があることにしてみてはいかがでしょうか？

１つは魔法の国。
２つめは科学技術の進んだ国。
３つめは海の中で暮らす人魚の国。

といった感じです。

>世界は丸い円が３つ重なったように存在します

この設定を全面に出すとわかりにくく感じるので、バックグラウンドではこのような設定になっているとしておいて、「なぜかまったく文明の異なる３つの国が出現して、異世界人も混乱している」「主人公の転生もおそらくこの現象に関係している」などとすると良いのではないかと思います。

また、ラノベ「とある魔術の禁書目録」は、科学が発達したＳＦ地味た都市に魔法使いの勢力が侵入してくるといった話なので、未読でしたら参考になると思うので、読んでみると良いかと思います。