結論から申せば、どんなゲームを作中に登場させるかは、作者の狙い次第です。単なる小道具とのきもあれば、そのゲームでないといけないという必然性がある場合もあります。以下、多少説明してみます。

１．各種ボードゲームの特徴

リバーシが出た作品を読んだ人が、作者となったときにリバーシを出したくなるということはあると思います。必ずしも意識して模倣というわけではなく、何となく、無意識にリバーシを選んでしまう。そういう影響の受け方ってよくあると思います。

その一方、リバーシを意図的に選んでいるケースもあるはずです。チェス、将棋、囲碁等々も同様でしょう。自分的に感じるボードゲームの特徴、特にフィクションでの使われ方を考えてみます。

・チェス：彫像風の各駒が絵的に鮮やかで、計算高くてキザなキャラの部屋にインテリア的に置かれていることがある（そして、最後にはおおむね主人公に敗北する）。
・将棋：チェスに比べると絵的に野暮ったく、そのおかげで将棋キャラが質実剛健な印象が出せる。
・囲碁：難度の高さは上記ゲーム同様ながら白黒の碁石がシンプルなこともあって、使用キャラが見かけより奥深い印象を出せる。

いずれも、まだコンピュータを使っても完全に解析し切れていないボードゲームになります。言い換えれば、まだまだ奥深いという印象が生じるゲームでもあります。
（コンピュータで完全に解かれた（可能な全指し手と勝敗が分かった）ゲームにはチェッカーがあります。完全解明したコンピュータプログラムと、当時の世界チャンピオンが5戦して全引き分けだったそうです。）

もっとも、チェス、将棋、囲碁でAIが人間の最高峰クラスを破ったということがあり、フィクションでも各ゲームの人間プレーヤーは知的という印象は持たせやすいものの、機械には勝てないという印象も同時に生じる可能性があります。

２．リバーシの特徴

リバーシは、以前に調べたときには、まだ完全解明されていませんでした。ちょっと意外でした。ルールはシンプル、盤面はさほど広くない、駒は白黒の表裏の駒1種類ですから、もうコンピュータで解けていると思い込んでたんです。

リバーシは早くにコンピュータプログラムが世界チャンピオンになったゲームでもあり、今もコンピュータが最強のはずです。このことは、人間プレーヤーがかなり上達しても、コンピュータ相手にいくらでも遊べることを意味します。しかしシンプルなゲームだけに入門もしやすい。ゲーム時間・指し手数も少ないので、遊びたいときにちょっと遊んでみることができる（長時間・手数の囲碁の代わりに手早く済むゲームとして考案されたらしい）。

ですので、リバーシのメリットはプレーヤーが入門者から上級者まで間口が広いことがあります。フィクションでの使い方に言い換えると、リバーシを出せば分かってくれる読者層が厚いということになります。未知の異世界でリバーシを紹介したら、あっという間に広まっても不思議ではない（現実でもそうだったから）。ただ、フィクション内のプレーヤーが知的かどうかはリバーシだけでは印象発生がしにくいということでもあります。

・リバーシ：キャラを問わず使え、読者にも分かりやすい。逆に言えば、リバーシを出してもキャラ造形に寄与しにくい。

３．架空のゲーム

架空のボードゲームを出すこともあります。「HUNTER×HUNTER」の「キメラ＝アント編」では、「軍儀」というボードゲームが出てきます（実在するボードゲームでは軍人将棋が近いかもしれない）。ルール等の説明はゲームがいかにも実在するような雰囲気を出すのみです。ゲームの難易度とか奥深さは具体的には分からない、つまり謎です。

それだけに「計り知れないほどの上級者がいる」という、作品の重要設定に納得を与えるのに成功しているようです。敵ボスは知能含めたあらゆる面で人類を凌駕しているのですが、「軍儀」だけは盲目で無力ながら「軍儀」に熟達した少女に勝てない。そこから印象深いドラマが生まれます。

・架空のボードゲーム：誰も知らないだけにミステリアスであり、作者の設定次第の雰囲気を作れる。

４．ゲームによる雰囲気づくり

もし、スレ主さん気になさっている多数の作品の劇中のリバーシについて、チェス、将棋、囲碁、架空のゲームに入れ替えて考えて、作品に影響がないようなら、リバーシである意味はないです。あちこちがリバーシだらけなら避けてもいいでしょう。

しかしもし、リバーシとチェスを入れ替えたら、キャラやシーンの雰囲気が変わりそうなら、作者が狙ってリバーシを選んでいると考えるべきでしょう。これがチェス、将棋等でも同じです。

例えば、エヴァンゲリオンの冬月コウゾウは将棋が趣味で、一人で詰将棋を解いていたりします。おそらくですが、将棋をチェスに入れ替えたら冬月コウゾウの印象は変わると思われます（ちょっとキザになる）。仮面ライダーゼロワンでは、天津垓の社長室にはチェスが置かれていました。これを将棋に入れ替えたら、天津垓のキャラ印象が変わりそうです。

５．要は作者の狙いに沿うゲームを出す

これらは制作者が狙ってゲームを選んでいると思います。スレ主さんも作品に登場させるゲームについては、そのゲームでどういう印象が生じそうか、あるいは強い印象を生じさせたくないかを考えて、選べばいいんじゃないでしょうか。少なくとも「作品に出すのはアリ/ナシ」という単純化された問題ではないはずです。